Logaritmy

Logaritmus jako kalkulačka

Než se logaritmus stal abstraktní funkcí ze školních osnov, byl to hlavně nástroj – rychlý způsob, jak počítat. Než existovaly kalkulačky, museli astronomové, mořeplavci a matematici násobit a dělit vícemístná čísla ručně, a to bylo pomalé a náchylné k chybám. Logaritmus tenhle problém obchází jedním trikem: mění násobení na sčítání.

Zkus si to sám. Sečti tahle čísla pod sebou:

Sečtení zabere necelé dvě minuty. Teď zkus vynásobit stejnou sedmici čísel mezi sebou – i s kalkulačkou po ruce to bude trvat mnohem déle, a ručně by to byla několikahodinová dřina.

Přesně kvůli tomuhle rozdílu logaritmus vznikl. Kdyby existovala tabulka, ve které bys ke každému číslu našla jeho „logaritmus“, stačilo by logaritmy sečíst a pak v tabulce najít zpátky číslo, kterému součet odpovídá – výsledek násobení, aniž bys jedinkrát násobila.

John Napier

John Napier (1550–1617) byl skotský matematik, fyzik, astronom a statkář z Merchistonu poblíž Edinburghu. Logaritmům se věnoval jako vedlejšímu zájmu – hlavní obživou mu bylo vedení panství a psaní teologických spisů. V matematice byl ale nesmírně vytrvalý: na svém systému logaritmů pracoval podle dochovaných pramenů zhruba dvacet let, než ho v roce 1614 popsal v knize Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Popis podivuhodného pravidla logaritmů). Kniha měla mezi tehdejšími matematiky okamžitý a nadšený ohlas.

Kromě logaritmů je Napier známý i vynálezem tzv. Napierových kostek – mechanické pomůcky pro násobení – a tím, že pomohl rozšířit používání desetinné čárky v zápisu čísel.

Aritmetická a geometrická posloupnost

Aby Napier logaritmus „vyrobil“, potřeboval propojit dva světy: svět násobení, kde čísla rostou tak, že se pořád násobí stejným číslem, a svět sčítání, kde čísla rostou tak, že se pořád přičítá stejné číslo.

Geometrická posloupnost – pokaždé se násobí stejným číslem: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64…

Každý další člen vznikne tak, že předchozí vynásobíme stále stejným číslem, kvocientem q.

1, 3, 9, 27, 81… (q = 3)
64, 32, 16, 8, 4… (q = ½)

Aritmetická posloupnost – pokaždé se přičítá stejné číslo: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

Každý další člen vznikne tak, že k předchozímu přičteme stále stejné číslo, diferenci d.

3, 7, 11, 15, 19… (d = 4)
20, 17, 14, 11, 8… (d = −3)

Když tyhle dvě řady napíšeš vedle sebe, řádek po řádku, stane se něco užitečného:

Chceš vynásobit 8 × 32? Najdi 8 a 32 v levém sloupci, přečti si jejich „protějšky“ vpravo (3 a 5), ty sečti (3 + 5 = 8) a v levém sloupci najdi zpátky číslo, které v pravém sloupci odpovídá výsledku 8: je to 256. A skutečně, 8 × 32 = 256.

Stejná tabulka umí i dělení – místo sčítání pravé strany ji odečteš – a odmocniny, kde číslo vpravo vydělíš stupněm odmocniny.

Tahle tabulka je ve skutečnosti prototyp logaritmické tabulky: levý sloupec jsou „čísla“, pravý jejich logaritmy při základu 2.

Odkud se vzalo slovo „logaritmus“

Napier svým novým číslům zpočátku neříkal logaritmy. V rukopise, který dnes známe jako Constructio, jim říkal artificial numbers – „umělá čísla“ – protože to jsou čísla, která si matematik pro usnadnění práce sám „vyrobí“, ne čísla, která by přímo něco měřila. Teprve později, v Descriptio, přišel s novým jménem: logarithm, složeným ze dvou řeckých slov – logos (poměr, řeč, počet) a arithmos (číslo). Logaritmus je tedy doslova „poměrové číslo“: číslo, které vyjadřuje poměr, tedy kolikrát je potřeba násobit základ.

Problém volby základu

Naše tabulka s mocninami dvojky (1, 2, 4, 8, 16…) je hezká na ukázku, ale pro praktické počítání nepoužitelná. Chybí jí skoro všechna čísla – neexistuje v ní žádný řádek pro 3, 5, 6, 7… A čím dál v tabulce jsi, tím jsou mezery mezi čísly větší (mezi 128 a 256 chybí 127 celých čísel). Aby byla tabulka k něčemu užitečná, potřebuješ, aby mezi sousedními čísly nebyly skoro žádné mezery – což znamená zvolit základ, který je hodně blízko číslu 1.

Přesně to Napier udělal. Jako poměr mezi sousedními členy zvolil číslo 0,9999999 (sedm devítek za desetinnou čárkou) a jako první číslo posloupnosti 10 000 000. Druhý člen je 10 000 000 × 0,9999999 = 9 999 999 – tedy jen o jedničku méně. Každý další krok ubere jen nepatrný kousek, takže tabulka pokrývá čísla hustě, prakticky bez mezer.

Jak to spočítal, aniž by počítal 10 milionů čísel

Kdyby chtěl Napier tímhle způsobem spočítat logaritmus každého čísla od 1 do 10 000 000, musel by ručně provést miliony násobení – na to by nestačil jeden lidský život. Použil proto chytřejší postup: nepočítal jednu obří tabulku, ale tři kratší, do sebe zanořené „žebříky“ čísel.

První žebřík měl 101 čísel a používal poměr 0,9999999 (ten z předchozí kapitoly). Druhý žebřík měl 51 čísel a o něco větší krok, odvozený z konce prvního žebříku. Třetí žebřík byla tabulka o 69 řádcích a 21 sloupcích, s ještě větším krokem. Kombinací a odhadem mezi těmito třemi žebříky dokázal Napier určit logaritmus prakticky jakéhokoli čísla, aniž by počítal všech 10 milionů hodnot zvlášť.

I tak na tom strávil kolem dvaceti let. Výsledek popsal v roce 1614 v knize Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Popis podivuhodného pravidla logaritmů) – knize, o níž se později psalo, že „osvobodila svět od zácpy výpočtů“.

Přesný Napierův postup je matematicky složitější; tady je zjednodušený, ale věcně správný popis principu. Pramen: D. Roegel, Napier’s ideal construction of the logarithms, 2012.