Cykloida

Kolem roku 1628 předložil pařížský mnich Marin Mersenne svým přátelům otázku, která vypadala nevinně. Když se kolo valí po silnici, hřebík zaražený v jeho obvodu opisuje ve vzduchu oblouky. Jak velká je plocha pod jedním takovým obloukem? A jaká je to vůbec křivka?

Mersenne byl uzlem, přes který tekla korespondence celé vědecké Evropy. Jeho síť dopisovatelů si můžete prohlédnout na mapě v kapitole VIII. Otázka o kole se po této síti rozběhla na všechny strany a po třiceti letech z ní byl jeden z nejslavnějších sporů 17. století. Křivce se pro to začalo říkat Helena geometrů: jako krásná Helena Trójská rozhádala ty nejlepší.

§Kdo se přel

• Marin Mersenne1588–1648 · organizátor sporu
• Gilles P. de Roberval1602–1675 · plocha a tečna
• René Descartes1596–1650 · tečna
• Pierre de Fermat1601–1665 · tečna, délka
• Christopher Wren1632–1723 · délka
• Blaise Pascal1623–1662 · kronikář a vyzyvatel

§Otázky 17. století

Kliknutím na otázku přejdete rovnou k odpovědi.

1. Co je to roulette?
2. Je-li křivka dána geometricky, jak získat její rovnice?
3. Jaká je plocha ohraničená touto křivkou?
4. Co je tečna k této křivce v daném bodě a jak ji určit? (otázky 4 a 5)
6. Jaká je délka této křivky?
7. Co lze říci o těžišti obrazce určeného touto křivkou?

Otázka 1Co je to roulette?

Francouzsky roue je kolo a přípona -ette označuje něco malého, takže roulette je „kolečko“. Pascal napsal, že tato křivka „není ničím jiným než dráhou, kterou vykoná hřebík na kole, když se kolo normálně otáčí“.

Řecky kyklos je kruh a eidos tvar. Cykloida je dráha bodu na obvodu kruhu, který se bez prokluzu valí po přímce.

§Rodina ruletových křivek

Roulette je obecně každá křivka, kterou opisuje bod pevně spojený s křivkou (nejčastěji kruhem), která se bez skluzu odvaluje po jiné křivce. Cykloida je jen nejjednodušší člen velké rodiny. Je-li bod dál od středu než poloměr, opisuje cykloidu prodlouženou se smyčkami. Je-li blíž, opisuje cykloidu zkrácenou, vlnku bez hrotů.

Otázka 2Je-li křivka dána geometricky, jak získat její rovnice?

Když se kruh o poloměru R otočí o úhel θ, jeho střed urazí přesně délku odvalovaného oblouku, tedy Rθ. Bod na obvodu je vůči středu otočen o tentýž úhel. Sečtením obou pohybů dostaneme:

x(θ) = R(θ − sin θ),  y(θ) = R(1 − cos θ).

Roberval to viděl jako složení dvou pohybů: rovnoměrného posuvu středu (zelený) a otáčení, jehož svislý průmět kreslí sinusoidu (modrá). Jejich součet je cykloida.

Otázka 3Jaká je plocha ohraničená touto křivkou?

1Křivka společnice

Z bodu P na cykloidě veďme vodorovnou přímku p a ze středu kruhu svislou přímku q. Jejich průsečík Q během valení kreslí společnici cykloidy, sinusoidu y = R(1 − cos x/R). Obě křivky jsou spojeny stejným pohybem.

2Knírek a klobouk

Společnice rozdělí plochu pod jedním obloukem cykloidy na dvě části: „klobouk“ pod sinusoidou a „knírek“, tedy dvě slzy mezi sinusoidou a cykloidou. Rozdělme obdélník 2πR × 2R svisle na dvě poloviny. Sinusoida je středově souměrná podle středu každé z nich, a proto každou polovinu půlí. Klobouk tedy zabírá přesně polovinu obdélníku:

klobouk = 12 · 2πR · 2R = 2πR² = obsah dvou kruhů.

Ještě názornější je tento obrat: klobouk se dá přestřihnout na trojúhelník. Sinusoida prochází středy ramen trojúhelníku se základnou 2πR a výškou 2R a je podle nich středově souměrná. Kousek klobouku, který přečnívá nad ramenem, se otočením o 180° kolem středu ramene přesně vejde do mezery u základny.

3Metoda nedělitelných

V každé výšce y je vodorovná úsečka ve slze přesně stejně dlouhá jako polotětiva valícího se kruhu, totiž R sin θ. Podle Cavalieriho principu mají tedy slzy stejný obsah jako půlkruh: obě slzy dohromady dají jeden kruh.

Výsledek. Klobouk + knírek = 2πR² + πR². Obsah plochy pod jedním obloukem cykloidy je 3πR², přesně trojnásobek valícího se kruhu. Galileo se svou váhou trefil velmi blízko, jen sám nevěřil, že by poměr mohl být přesně 3. Roberval pro křivku zavedl název trochoida.

Dnes stačí jeden integrál:

∫₀^2πR y dx = R² ∫₀^2π (1 − cos θ)² dθ = 3πR².

Roberval to však zvládl bez integrálního počtu a výsledek hrdě napsal Descartovi.

Otázky 4 a 5Co je tečna k této křivce v daném bodě? Jak ji určit?

Roberval chápal tečnu jako směr okamžitého pohybu. Bod cykloidy se pohybuje dvěma pohyby najednou: vodorovným posuvem středu (zelený vektor) a otáčením po kružnici (oranžový vektor, tečný ke kruhu). Při valení bez prokluzu mají oba stejnou velikost. Úhlopříčka rovnoběžníku, který tvoří, je směr tečny.

Do sporu se postupně zapojili Fermat, Beaugrand i Galileův žák Torricelli. Když Torricelli roku 1644 výpočet plochy publikoval, vypukl kolem priority skandál: Roberval ho obvinil, že výsledek převzal z pařížských dopisů. Konstrukci si můžete vyzkoušet i v GeoGebře: Descartova tečna ↗.

Otázka 6Jaká je délka této křivky?

Nápad: místo kruhu valíme pravidelný n-úhelník. Jeho vrchol pak opisuje křivku složenou z kruhových oblouků. Každý oblouk je otočení kolem jednoho vrcholu o úhel 2π/n s poloměrem rovným tětivě 2 sin(kπ/n) (pro R = 1). Délka oblouku je poloměr krát úhel, takže

L_n = n−1Σk=1 2 sin kπn · 2πn.

Pomocí Lagrangeovy identity pro součet sinů dostaneme L_n = 4πn · cotg π2n a v limitě

L_∞ = lim_n→∞ 8 · π/2ntg(π/2n) = 8.

Délka jednoho oblouku cykloidy je 8R, tedy čtyřnásobek průměru valícího se kruhu. A k tomu racionální, bez π! Wren výsledek uvedl jako první; důkazy podali také Fermat a Roberval.