Die Zykloide

Um 1628 stellte der Pariser Mönch Marin Mersenne seinen Freunden eine Frage, die harmlos aussah. Wenn ein Rad über die Straße rollt, beschreibt ein Nagel in seinem Umfang Bögen in der Luft. Wie groß ist die Fläche unter einem solchen Bogen? Und was für eine Kurve ist das überhaupt?

Mersenne war der Knotenpunkt, über den die Korrespondenz des ganzen wissenschaftlichen Europa lief. Sein Netz von Briefpartnern können Sie sich auf der Karte in Kapitel VIII ansehen. Die Frage nach dem Rad verbreitete sich über dieses Netz in alle Richtungen, und dreißig Jahre später war daraus einer der berühmtesten Gelehrtenstreite des 17. Jahrhunderts geworden. Deshalb nannte man die Kurve bald die Helena der Geometer: Wie die schöne Helena von Troja entzweite sie die Besten.

§Wer stritt

• Marin Mersenne1588–1648 · Organisator des Streits
• Gilles P. de Roberval1602–1675 · Fläche und Tangente
• René Descartes1596–1650 · Tangente
• Pierre de Fermat1601–1665 · Tangente, Länge
• Christopher Wren1632–1723 · Länge
• Blaise Pascal1623–1662 · Chronist und Herausforderer

§Fragen des 17. Jahrhunderts

Ein Klick auf eine Frage führt direkt zur Antwort.

1. Was ist die Roulette?
2. Wenn eine Kurve geometrisch gegeben ist, wie findet man ihre Gleichungen?
3. Wie groß ist die von dieser Kurve begrenzte Fläche?
4. Was ist die Tangente an diese Kurve in einem gegebenen Punkt, und wie bestimmt man sie? (Fragen 4 und 5)
6. Wie lang ist diese Kurve?
7. Was lässt sich über den Schwerpunkt der von dieser Kurve begrenzten Figur sagen?

Frage 1Was ist die Roulette?

Auf Französisch heißt roue Rad, und die Endung -ette bezeichnet etwas Kleines; roulette ist also ein „Rädchen“. Pascal schrieb, diese Kurve sei „nichts anderes als der Weg, den ein Nagel an einem Rad zurücklegt, wenn sich das Rad auf gewöhnliche Weise dreht“.

Griechisch kyklos ist der Kreis und eidos die Gestalt. Die Zykloide ist die Bahn eines Punktes auf dem Umfang eines Kreises, der ohne zu gleiten auf einer Geraden abrollt.

§Die Familie der Rollkurven

Allgemein ist eine Roulette jede Kurve, die ein Punkt beschreibt, der fest mit einer Kurve (meist einem Kreis) verbunden ist, die ohne zu gleiten auf einer anderen Kurve abrollt. Die Zykloide ist nur das einfachste Mitglied einer großen Familie. Liegt der Punkt weiter vom Mittelpunkt entfernt als der Radius, beschreibt er eine verschlungene Zykloide mit Schleifen. Liegt er näher, beschreibt er eine gestreckte Zykloide, eine Welle ohne Spitzen.

Frage 2Wenn eine Kurve geometrisch gegeben ist, wie findet man ihre Gleichungen?

Dreht sich ein Kreis mit dem Radius R um den Winkel θ, legt sein Mittelpunkt genau die Länge des abgerollten Bogens zurück, also Rθ. Der Punkt auf dem Umfang ist gegenüber dem Mittelpunkt um denselben Winkel gedreht. Addiert man beide Bewegungen, erhält man:

x(θ) = R(θ − sin θ),  y(θ) = R(1 − cos θ).

Roberval sah darin eine Zusammensetzung zweier Bewegungen: die gleichförmige Verschiebung des Mittelpunkts (grün) und die Drehung, deren senkrechte Projektion eine Sinuskurve zeichnet (blau). Ihre Summe ist die Zykloide.

Frage 3Wie groß ist die von dieser Kurve begrenzte Fläche?

1Die Begleitkurve

Vom Punkt P der Zykloide ziehen wir eine waagerechte Gerade p und vom Mittelpunkt des Kreises eine senkrechte Gerade q. Ihr Schnittpunkt Q zeichnet beim Abrollen die Begleitkurve der Zykloide, die Sinuskurve y = R(1 − cos x/R). Beide Kurven sind durch dieselbe Bewegung verbunden.

2Schnurrbart und Hut

Die Begleitkurve teilt die Fläche unter einem Zykloidenbogen in zwei Teile: den „Hut“ unter der Sinuskurve und den „Schnurrbart“, also zwei Tropfen zwischen Sinuskurve und Zykloide. Teilen wir das Rechteck 2πR × 2R senkrecht in zwei Hälften. Die Sinuskurve ist punktsymmetrisch zum Mittelpunkt jeder Hälfte und halbiert deshalb jede von ihnen. Der Hut nimmt also genau die Hälfte des Rechtecks ein:

Hut = 12 · 2πR · 2R = 2πR² = Fläche zweier Kreise.

Noch anschaulicher ist dieser Kniff: Den Hut kann man zu einem Dreieck umschneiden. Die Sinuskurve geht durch die Mittelpunkte der Schenkel des Dreiecks mit der Grundseite 2πR und der Höhe 2R und ist punktsymmetrisch zu ihnen. Das Stück des Hutes, das über einen Schenkel hinausragt, passt nach einer Drehung um 180° um den Mittelpunkt des Schenkels genau in die Lücke an der Grundseite.

3Die Methode der Indivisiblen

In jeder Höhe y ist die waagerechte Strecke im Tropfen genau so lang wie die halbe Sehne des rollenden Kreises, nämlich R sin θ. Nach dem Prinzip von Cavalieri haben die Tropfen also denselben Flächeninhalt wie ein Halbkreis: Beide Tropfen zusammen ergeben einen Kreis.

Das Ergebnis. Hut + Schnurrbart = 2πR² + πR². Die Fläche unter einem Zykloidenbogen beträgt 3πR², genau das Dreifache des rollenden Kreises. Galilei kam mit seiner Waage sehr nahe heran, glaubte aber selbst nicht, dass das Verhältnis genau 3 sein könnte. Roberval gab der Kurve den Namen Trochoide.

Heute genügt ein einziges Integral:

∫₀^2πR y dx = R² ∫₀^2π (1 − cos θ)² dθ = 3πR².

Roberval schaffte es jedoch ohne Integralrechnung und schrieb das Ergebnis stolz an Descartes.

Fragen 4 und 5Was ist die Tangente an diese Kurve in einem gegebenen Punkt? Wie bestimmt man sie?

Roberval verstand die Tangente als Richtung der augenblicklichen Bewegung. Ein Punkt der Zykloide führt zwei Bewegungen zugleich aus: die waagerechte Verschiebung des Mittelpunkts (grüner Vektor) und die Drehung auf dem Kreis (oranger Vektor, tangential zum Kreis). Beim Rollen ohne Gleiten sind beide gleich groß. Die Diagonale des Parallelogramms, das sie bilden, ist die Richtung der Tangente.

Nach und nach schalteten sich Fermat, Beaugrand und Galileis Schüler Torricelli in den Streit ein. Als Torricelli 1644 die Berechnung der Fläche veröffentlichte, brach ein Skandal um die Priorität aus: Roberval warf ihm vor, das Ergebnis aus den Pariser Briefen übernommen zu haben. Die Konstruktion können Sie auch in GeoGebra: Descartes’ Tangente ↗ ausprobieren.

Frage 6Wie lang ist diese Kurve?

Die Idee: Statt eines Kreises lassen wir ein regelmäßiges n-Eck abrollen. Seine Ecke beschreibt dann eine Kurve aus Kreisbögen. Jeder Bogen ist eine Drehung um eine Ecke um den Winkel 2π/n, mit einem Radius gleich der Sehne 2 sin(kπ/n) (für R = 1). Die Länge eines Bogens ist Radius mal Winkel, also

L_n = n−1Σk=1 2 sin kπn · 2πn.

Mit der Lagrange-Identität für eine Summe von Sinuswerten erhalten wir L_n = 4πn · cot π2n und im Grenzwert

L_∞ = lim_n→∞ 8 · π/2ntan(π/2n) = 8.

Ein Zykloidenbogen ist 8R lang, also das Vierfache des Durchmessers des rollenden Kreises. Und dazu rational, ohne π! Wren gab das Ergebnis als Erster an; Beweise lieferten auch Fermat und Roberval.